Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 01 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 4. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất xx sản phẩm (1≤x≤400)(1 \leq x \leq 400) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F(x)=x3−1999x2+1001000x+250000F(x)=x^{3}-1999 x^{2}+1001000 x+250000 (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là G(x)=100000x32x+1G(x)=\frac{100000 x}{\frac{3}{2} x+1} (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là H(x)=2x3+100000x−50000H(x)=2 x^{3}+100000 x-50000 (đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1%1\% cho 200 sản phẩm đầu tiên và giảm 2%2\% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

253

Ta có chi phí H(200)=35950000H(200)=35950000;

H(x−200)=2(x−200)3+100000(x−200)−50000, vıˊ i 400≥x>200.H(x-200)=2(x-200)^{3}+100000(x-200)-50000, \text { ví i } 400 \geq x>200 .

Ta có lợi nhuận thu được tính như sau:

f(x)={F(x)−xG(x)−99100⋅H(x) khi 0≤x≤200F(x)−xG(x)−99100⋅H(200)−98100⋅H(x−200) khi 200<x≤400={x3−1999x2+1001000x+250000−100000x232x+1−0,99(2x3+100000x−50000), khi 0≤x≤200x3−1999x2+1001000x+250000−100000x232x+1−0,99H(200)−0,98H(x−200), khi 200<x≤400\begin{aligned} & f(x)= \begin{cases}F(x)-x G(x)-\frac{99}{100} \cdot H(x) & \text { khi } 0 \leq x \leq 200 \\ F(x)-x G(x)-\frac{99}{100} \cdot H(200)-\frac{98}{100} \cdot H(x-200) & \text { khi } 200<x \leq 400\end{cases} \\ & = \begin{cases}x^{3}-1999 x^{2}+1001000 x+250000-\frac{100000 x^{2}}{\frac{3}{2} x+1}-0,99\left(2 x^{3}+100000 x-50000\right), \text { khi } 0 \leq x \leq 200 \\ x^{3}-1999 x^{2}+1001000 x+250000-\frac{100000 x^{2}}{\frac{3}{2} x+1}-0,99 H(200)-0,98 H(x-200), \text { khi } 200<x \leq 400\end{cases} \end{aligned}
  • Xét trường hợp khi 0≤x≤2000 \leq x \leq 200 :
f(x)=−0,98x3−1999x2+902000x+299500−200000x23x+2⇒f′(x)=−26,46x4−36017,28x3+8070912,24x2+10080008x+3608000(3x+2)2⇒f′(x)=0⇔x≈196,98.\begin{aligned} & f(x)=-0,98 x^{3}-1999 x^{2}+902000 x+299500-\frac{200000 x^{2}}{3 x+2} \\ & \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{-26,46 x^{4}-36017,28 x^{3}+8070912,24 x^{2}+10080008 x+3608000}{(3 x+2)^{2}} \\ & \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x \approx 196,98 . \end{aligned}

BBT:

  • Xét trường hợp khi 200<x≤400200<x \leq 400 :
f(x)=−0,96x3−823x2+667800x−11500−200000x23x+2⇒f′(x)=−2,88x2−1646x+667800−600000x2+800000x(3x+2)2⇒f′(x)=0⇔x≈253,11.\begin{aligned} & f(x)=-0,96 x^{3}-823 x^{2}+667800 x-11500-\frac{200000 x^{2}}{3 x+2} \\ & \Rightarrow f^{\prime}(x)=-2,88 x^{2}-1646 x+667800-\frac{600000 x^{2}+800000 x}{(3 x+2)^{2}} \\ & \Rightarrow f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x \approx 253,11 . \end{aligned}

BBT:

Vì số sản phẩm sản xuất được là số tự nhiên, từ BBT trên ta so sánh f(253)f(253) và f(254)f(254). Ta có: f(253)≈83893648,05f(253) \approx 83893648,05 và f(254)≈83892445,32f(254) \approx 83892445,32. Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 253 sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.