Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 01 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 5. Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 z-38=0$ và hai mặt phẳng $(\alpha): x+2 y-4=0 ;(\beta): 3 y+z-5=0$. Xét $(P)$ là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Khoảng cách lớn nhất từ điểm $A(5 ;-5 ; 6)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

9,5

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ; 0 ; 1)$ và bán kính $R=2 \sqrt{10}$. Mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_{\alpha}}=(1 ; 2 ; 0), \overrightarrow{n_{\beta}}=(0 ; 3 ; 1)$. Giả sử $\Delta=(\alpha) \cap(\beta) \Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_{\alpha}}, \overrightarrow{n_{\beta}}\right]=(2 ;-1 ; 3)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I(1 ; 0 ; 1)$ và song song với $\Delta$. Suy ra $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=-t \\ z=1+3 t\end{array}\right.$.

Gọi $(H)$ là mặt trụ có trục $d$ và bán kính $R=2 \sqrt{10} ;(Q)$ là mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $d$ cắt $(H)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$. Khi đó $(P)$ tiếp xúc với $(C)$.

Ta có $d(A,(P))=d(A, d)+R=\sqrt{10}+2 \sqrt{10}=3 \sqrt{10}$. Vậy khoảng cách lớn nhất từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3 \sqrt{10} \approx 9,5$.