Tối ưu hóa diện tích thùng tôn hình hộp chữ nhật

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 02 - VuaDeThi.com

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là $x(\mathrm{dm})$ , chiều cao của thùng là $h(\mathrm{dm})$ .

a) Thể tích của thùng là $V=x^{2} h\left(\mathrm{dm}^{3}\right)$ .

b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: $S=4 x h+x^{2}\left(\mathrm{dm}^{2}\right)$ .

c) Đạo hàm của hàm số $S(x)=\frac{128}{x}+x^{2}$ là $S^{\prime}(x)=\frac{128}{x^{2}}+2 x$ .

d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4 dm .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Đúng ; b) Đúng ; c) Sai ; d) Đúng

a) Đúng. Thể tích hình hộp chữ nhật là $V=S_{d} \cdot h=x^{2} h\left(\mathrm{dm}^{3}\right)$ . b) Đúng. Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là: $S=4 x h+x^{2}\left(\mathrm{dm}^{2}\right)$ . c) Sai. Vì $V=32 l=32 \mathrm{dm}^{3}$ nên $x^{2} h=32 \Leftrightarrow h=\frac{32}{x^{2}}$ . Do đó: $S=4 x \cdot \frac{32}{x^{2}}+x^{2}=\frac{128}{x}+x^{2}$ . Suy ra $S^{\prime}(x)=-\frac{128}{x^{2}}+2 x$ . d) Đúng. Ta có: $S^{\prime}(x)=-\frac{128}{x^{2}}+2 x=0 \Leftrightarrow \frac{2 x^{3}-128}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow x=4$ .

Ta có bảng biến thiên:

$x$	0		4	$+\infty$
$y^{\prime}$		-	0	+
$y$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy độ dài đáy thùng bằng 4 dm thì chi phí là thấp nhất.