Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 02 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 5. Ông An đang ở trong rừng để đào vàng. Ông ta tìm thấy vàng ở điểm $X$, cách điểm $A$ 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của Ông An nằm ở Y, cách điểm $B$ 3 $\mathrm{~km}$. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB=18 \mathrm{~km}$, $AM=NB=x \mathrm{~km}$ và $AX=BY=3 \mathrm{~km}$. (Như hình vẽ)

Khi đang đào vàng, ông An bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo hàm số $y=50 \log (t+2)(\mathrm{mg} / \mathrm{l})$, trong đó $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Ông An cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Ông ấy chạy trong rừng với vận tốc $5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ và chạy trên đường bờ biển với vận tốc $13 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Để về đến trại ông An cần chạy từ trong rừng qua điểm $M, N$ trên đường bờ biển. Chọn điểm $M$ trên đường bờ biển sao cho khi ông An về đến trại nồng độ chất độc trong máu thấp nhất. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi ông An về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

xem đáp án bên dưới

Đáp án

32,6

Nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi thời gian di chuyển về đến trại thấp nhất. Vậy nên quãng đường ông An di chuyển về đến trại phải ngắn nhất. Theo bài ra ta có: ông An sẽ đi quãng đường $X M+M N+N Y$. Ta có: $X M=N Y=\sqrt{9+x^{2}} ; M N=18-2 x(\mathrm{~km})$. Thời gian ông An chạy đến trại nghỉ là: $T(x)=2\left(\frac{\sqrt{9+x^{2}}}{5}+\frac{9-x}{13}\right)$ với $[0 ; 9]$. Xét $T^{\prime}(x)=2\left(\frac{x}{5 \sqrt{9+x^{2}}}-\frac{1}{13}\right) ; T^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$ (thỏa mãn). Ta có bảng biến thiên:

$x$	0	$\frac{5}{4}$	9
$T^{\prime}(x)$		-	0	+
$T(x)$	$\frac{168}{65}$		$\frac{162}{65}$	$\frac{6 \sqrt{10}}{5}$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $T(x)$ nhỏ nhất khi $x=\frac{5}{4} ; \min _{(0 ; 9)} T(x)=T\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{162}{65}$. Vậy nồng độ chất độc trong máu thấp nhất là $\min _{(0 ;+\infty)} y=50 \log \left(\frac{162}{65}+2\right) \approx 32,6$.