Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 03 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có $A A^{\prime}=2 \sqrt[3]{26}$, tam giác $A B C$ vuông tại $C$ và $B A C=60^{\circ}$, góc giữa cạnh bên $B B^{\prime}$ và mặt đáy $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B^{\prime}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A B C$. Tính thể tích của khối tứ diện $A^{\prime} A B C$.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

9

Đáp án: 9 Gọi $G$ là trọng tâm của $\triangle A B C, M$ là trung điểm của $A C$. Suy ra hình chiếu vuông góc của $B^{\prime}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ là $G$ hay $B^{\prime} G \perp(A B C)$.

Vì $B G$ là hình chiếu vuông góc của $B^{\prime} G$ lên mặt phẳng $(A B C)$ nên góc giữa $B B^{\prime}$ và mặt đáy $(A B C)$ bằng góc giữa $B B^{\prime}$ và $B G$ và bằng $B^{\prime} B G$. Suy ra $B^{\prime} B G=60^{\circ}$.

Vì $A^{\prime} B^{\prime} / /(A B C)$ nên $d\left(A^{\prime},(A B C)\right)=d\left(B^{\prime},(A B C)\right)=B^{\prime} G$.

Xét $\Delta B B^{\prime} G$ vuông tại $G$ có $B B^{\prime}=A A^{\prime}=2 \sqrt[3]{26}$ và $B^{\prime} B G=60^{\circ}$ : $\sin B^{\prime} B G=\frac{B^{\prime} G}{B B^{\prime}} \Rightarrow B^{\prime} G=2 \sqrt[3]{26} \cdot \sin 60^{\circ}=\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26}$. Suy ra $d\left(A^{\prime},(A B C)\right)=\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26}$.

Ta có $B G=\sqrt{B B^{\prime 2}-B^{\prime} G^{2}}=\sqrt[3]{26} \Rightarrow B M=\frac{3}{2} B G=\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{26}$. $\triangle A C B$ vuông tại $C$ có $\tan C A B=\frac{B C}{A C} \Rightarrow B C=A C \cdot \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} A C$. $\Delta M C B$ vuông tại $C$ có $M B^{2}=B C^{2}+M C^{2}$ $\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{26}\right)^{2}=3 A C^{2}+\frac{A C^{2}}{4}=\frac{13}{4} A C^{2} \Leftrightarrow A C=\frac{3 \sqrt{13}}{13} \cdot \sqrt[3]{26}$. $\Rightarrow B C=\frac{3 \sqrt{39}}{13} \cdot \sqrt[3]{26}$. Suy ra $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C=\frac{9 \sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt[3]{26^{2}}$. Khi đó, $V_{A^{\prime} A B C}=\frac{1}{3} \cdot B^{\prime} G \cdot S_{\triangle A B C}=\frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26} \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt[3]{26^{2}}=9$.