Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 03 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho hình lăng trụ ABCABCA B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}AA=2263A A^{\prime}=2 \sqrt[3]{26}, tam giác ABCA B C vuông tại CCBAC=60B A C=60^{\circ}, góc giữa cạnh bên BBB B^{\prime} và mặt đáy (ABC)(A B C) bằng 6060^{\circ}. Hình chiếu vuông góc của BB^{\prime} lên mặt phẳng (ABC)(A B C) trùng với trọng tâm của tam giác ABCA B C. Tính thể tích của khối tứ diện AABCA^{\prime} A B C.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

9

Đáp án: 9 Gọi GG là trọng tâm của ABC,M\triangle A B C, M là trung điểm của ACA C. Suy ra hình chiếu vuông góc của BB^{\prime} lên mặt phẳng (ABC)(A B C)GG hay BG(ABC)B^{\prime} G \perp(A B C).

BGB G là hình chiếu vuông góc của BGB^{\prime} G lên mặt phẳng (ABC)(A B C) nên góc giữa BBB B^{\prime} và mặt đáy (ABC)(A B C) bằng góc giữa BBB B^{\prime}BGB G và bằng BBGB^{\prime} B G. Suy ra BBG=60B^{\prime} B G=60^{\circ}.

AB//(ABC)A^{\prime} B^{\prime} / /(A B C) nên d(A,(ABC))=d(B,(ABC))=BGd\left(A^{\prime},(A B C)\right)=d\left(B^{\prime},(A B C)\right)=B^{\prime} G.

Xét ΔBBG\Delta B B^{\prime} G vuông tại GGBB=AA=2263B B^{\prime}=A A^{\prime}=2 \sqrt[3]{26}BBG=60B^{\prime} B G=60^{\circ} : sinBBG=BGBBBG=2263sin60=3263\sin B^{\prime} B G=\frac{B^{\prime} G}{B B^{\prime}} \Rightarrow B^{\prime} G=2 \sqrt[3]{26} \cdot \sin 60^{\circ}=\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26}. Suy ra d(A,(ABC))=3263d\left(A^{\prime},(A B C)\right)=\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26}.

Ta có BG=BB2BG2=263BM=32BG=32263B G=\sqrt{B B^{\prime 2}-B^{\prime} G^{2}}=\sqrt[3]{26} \Rightarrow B M=\frac{3}{2} B G=\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{26}. ACB\triangle A C B vuông tại CCtanCAB=BCACBC=ACtan60=3AC\tan C A B=\frac{B C}{A C} \Rightarrow B C=A C \cdot \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} A C. ΔMCB\Delta M C B vuông tại CCMB2=BC2+MC2M B^{2}=B C^{2}+M C^{2} (32263)2=3AC2+AC24=134AC2AC=31313263\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2} \cdot \sqrt[3]{26}\right)^{2}=3 A C^{2}+\frac{A C^{2}}{4}=\frac{13}{4} A C^{2} \Leftrightarrow A C=\frac{3 \sqrt{13}}{13} \cdot \sqrt[3]{26}. BC=33913263\Rightarrow B C=\frac{3 \sqrt{39}}{13} \cdot \sqrt[3]{26}. Suy ra SABC=12ACBC=93262623S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C=\frac{9 \sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt[3]{26^{2}}. Khi đó, VAABC=13BGSABC=13326393262623=9V_{A^{\prime} A B C}=\frac{1}{3} \cdot B^{\prime} G \cdot S_{\triangle A B C}=\frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26} \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt[3]{26^{2}}=9.