Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC⋅A′B′C′ có AA′=2326, tam giác ABC vuông tại C và BAC=60∘, góc giữa cạnh bên BB′ và mặt đáy (ABC) bằng 60∘. Hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối tứ diện A′ABC.
xem đáp án bên dưới
Đáp án
9
Đáp án: 9
Gọi G là trọng tâm của △ABC,M là trung điểm của AC. Suy ra hình chiếu vuông góc của B′ lên mặt phẳng (ABC) là G hay B′G⊥(ABC).
Vì BG là hình chiếu vuông góc của B′G lên mặt phẳng (ABC) nên góc giữa BB′ và mặt đáy (ABC) bằng góc giữa BB′ và BG và bằng B′BG. Suy ra B′BG=60∘.
Vì A′B′//(ABC) nên d(A′,(ABC))=d(B′,(ABC))=B′G.
Xét ΔBB′G vuông tại G có BB′=AA′=2326 và B′BG=60∘ : sinB′BG=BB′B′G⇒B′G=2326⋅sin60∘=3⋅326. Suy ra d(A′,(ABC))=3⋅326.
Ta có BG=BB′2−B′G2=326⇒BM=23BG=23⋅326.
△ACB vuông tại C có tanCAB=ACBC⇒BC=AC⋅tan60∘=3AC.
ΔMCB vuông tại C có MB2=BC2+MC2⇔(23⋅326)2=3AC2+4AC2=413AC2⇔AC=13313⋅326.
⇒BC=13339⋅326. Suy ra S△ABC=21⋅AC⋅BC=2693⋅3262.
Khi đó, VA′ABC=31⋅B′G⋅S△ABC=313⋅326⋅2693⋅3262=9.