Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 03 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 3. Theo thống kê tại một nhà máy ZZ, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 tổ công nhân đi làm và mỗi tổ công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 tổ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 tổ/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là P(x)=95x2+120x4P(x)=\frac{95 x^{2}+120 x}{4}, với xx là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

36

Đáp án: 36. Gọi số giờ làm tăng thêm mỗi tuần là t,t∈□t, t \in \square. Số tổ công nhân bỏ việc là t2\frac{t}{2} nên số tổ công nhân làm việc là 100−t2100-\frac{t}{2} (tổ). Năng suất của tổ công nhân còn 120−5t2120-\frac{5 t}{2} sản phẩm một giờ. Số thời gian làm việc một tuần là 40+t=x40+t=x (giờ). Để nhà máy hoạt động được thì {40+t>0120−5t2>0⇒t∈(−40;48). 100−t2>0\left\{\begin{array}{l}40+t>0 \\ 120-\frac{5 t}{2}>0 \Rightarrow t \in(-40 ; 48) \text {. } \\ 100-\frac{t}{2}>0\end{array}\right.. Số sản phẩm trong một tuần làm được: S=(100−t2)(120−5t2)(40+t)S=\left(100-\frac{t}{2}\right)\left(120-\frac{5 t}{2}\right)(40+t).

Số sản phẩm thu được là:

f(t)=(100−t2)(120−5t2)(40+t)−95(40+t)2+120(40+t)4f′(t)=−12(120−5t2)(40+t)−52(100−t2)(40+t)+(100−t2)(120−5t2)−952(40+t)−30=154t2−11352t−2330 Ta coˊ f′(t)=0⇔[t=−4t=4663(L). \begin{aligned} & f(t)=\left(100-\frac{t}{2}\right)\left(120-\frac{5 t}{2}\right)(40+t)-\frac{95(40+t)^{2}+120(40+t)}{4} \\ & f^{\prime}(t)=\frac{-1}{2}\left(120-\frac{5 t}{2}\right)(40+t)-\frac{5}{2}\left(100-\frac{t}{2}\right)(40+t)+\left(100-\frac{t}{2}\right)\left(120-\frac{5 t}{2}\right)-\frac{95}{2}(40+t)-30 \\ & =\frac{15}{4} t^{2}-\frac{1135}{2} t-2330 \\ & \text { Ta có } f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=-4 \\ t=\frac{466}{3}(L) \end{array}\right. \text {. } \end{aligned}

Ta có bảng biến thiên: \begin{tabular}{l|llcll} xx & -40 & & -4 & & 48 \ \hliney′y^{\prime} & & + & 0 & - & \ \hlineyy & & & & & \end{tabular}

Dựa vào bảng biến thiên ta có số lượng sản phẩm thu được lớn nhất thì thời gian làm việc trong một tuần là 40+(−4)=3640+(-4)=36.