Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 04 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 6. Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng 2 m. Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ (mét) với $0<x<\frac{2}{3}$. Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được một hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối $\left(\mathrm{dm}^{3}\right)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

98,8

Đáp án: 98,8 . Đặt tên các điểm như hình dưới đây.

Kẻ đường cao $A M$, ta có $\triangle A B C$ đều, cạnh bằng 2 nên $A M=\sqrt{3}$. Gọi $O$ là tâm của $\triangle A B C \Rightarrow O M=\frac{1}{3} A M=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow O H=O M-x=\frac{\sqrt{3}}{3}-x$. Lại có $\triangle O P Q$ đều nên $O H=\frac{\sqrt{3}}{2} P Q \Rightarrow P Q=\frac{2}{\sqrt{3}} O H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-x\right)$. Diện tích $\triangle O P Q$ là $S_{\triangle O P Q}=\frac{1}{2} O H \cdot P Q=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-x\right)^{2}$. Diện tích lục giác đều: $S=6 S_{\triangle O P Q}=2 \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-x\right)^{2}$.

Thể tích khối lăng trụ lục giác đều: $V(x)=2 \sqrt{3} x\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-x\right)^{2}=2 \sqrt{3}\left(\frac{1}{3} x-\frac{2 \sqrt{3}}{3} x^{2}+x^{3}\right)$. Ta có $V^{\prime}(x)=2 \sqrt{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{4 \sqrt{3}}{3} x+3 x^{2}\right)=0 \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Lập bảng giá trị của $V(x)$ với $x \in\left(0 ; \frac{2}{3}\right)$, ta thấy hàm số $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{8}{81}$ tại $x=\frac{\sqrt{3}}{9}$.

Vậy thể tích lớn nhất của khối lăng trụ lục giác đều là $\frac{8}{81}\left(\mathrm{~m}^{3}\right) \approx 98,8\left(\mathrm{dm}^{3}\right)$.