Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 07 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 5. Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh 90 cm . Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng x( cm)x(\mathrm{~cm}) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm xx để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm ).

Hình minh họa

xem đáp án bên dưới

Đáp án

15

Đáp án: 15. Điều kiện 0<x<450<x<45. Cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều:

AB=HK=90−2x( cm).A B=H K=90-2 x(\mathrm{~cm}) .

Chiều cao của lăng trụ lục giác đều:

HA=MH⋅tan⁡60∘=x3( cm)H A=M H \cdot \tan 60^{\circ}=x \sqrt{3}(\mathrm{~cm})

Diện tích đáy của lăng trụ lục giác đều:

SABCDEF=6SABO=6⋅34(90−2x)2( cm2).S_{A B C D E F}=6 S_{A B O}=6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}(90-2 x)^{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right) .

Thể tích của khối lăng trụ lục giác đều: V(x)=HA⋅SABCDEF=92x(90−2x)2( cm3)V(x)=H A \cdot S_{A B C D E F}=\frac{9}{2} x(90-2 x)^{2}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right). Hay V(x)=18x3−1620x2+36450xV(x)=18 x^{3}-1620 x^{2}+36450 x. Xét hàm số V(x)=18x3−1620x2+36450xV(x)=18 x^{3}-1620 x^{2}+36450 x trên khoảng (0;45)(0 ; 45). V′(x)=54x2−3240x+36450V^{\prime}(x)=54 x^{2}-3240 x+36450 V′(x)=0⇔54x2−3240x+36450=0⇔x=15V^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 54 x^{2}-3240 x+36450=0 \Leftrightarrow x=15 hoặc x=45x=45 (loại). Bảng biến thiên:

xx01545
V′(x)V^{\prime}(x)+0-
V(x)V(x)243000

Từ bảng biến thiên ta có: max⁡(0;45)V(x)=243000( cm3)\max _{(0 ; 45)} V(x)=243000\left(\mathrm{~cm}^{3}\right) khi và chỉ khi x=15 cmx=15 \mathrm{~cm}. Vậy thể tích của khối lăng trụ lục giác đều lớn nhất khi và chỉ khi x=15 cmx=15 \mathrm{~cm}.