Giải bài toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian tọa độ

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 3. Trong không gian toạ độ $O x y z$ , cho đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $(P): x-y+z-2024=0$ .

a) Vectơ có toạ độ $(2 ; 1 ; 3)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

b) Vectơ có toạ độ $(1 ; 1 ; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

c) Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$ là $2 x+y+3 z=0$ .

d) Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) bằng $38^{\circ}$ .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Đúng ; b) Sai ; c) Đúng ; d) Đúng

a) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u}=(2 ; 1 ; 3)$ .

b) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}=(1 ;-1 ; 1)$ .

c) Đúng. $(Q) \perp \Delta \Rightarrow \operatorname{VTPT} \vec{n}_{(Q)}=(2 ; 1 ; 3)$ . Khi đó phương trình mặt phẳng $(Q): 2 x+y+3 z=0$ .

d) Đúng. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ :

\sin (\Delta,(P))=\frac{|2 \cdot 1+1 \cdot(-1)+3 \cdot 1|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{42}} \Rightarrow(\Delta,(P)) \approx 38^{\circ} .