Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 09 - VuaDeThi.com

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 4. Ở huyện Đông Anh, Hà Nội, vào tháng 7 , người ta đo được xác suất để có mưa vào thứ hai là $x^{2}$. Nếu trời có mưa vào thứ hai thì xác suất để có mưa vào thứ ba là $\frac{1}{4} x$. Nếu thứ hai không có mưa thì xác suất để có mưa vào thứ ba là $x$.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Sai ; b) Sai ; c) Sai ; d) Đúng

Gọi biến cố $A$ là: "Có mưa vào thứ hai"; biến cố $B$ là: "Có mưa vào thứ ba". Từ giả thiết có $P(A)=x^{2} \Rightarrow P(\bar{A})=1-x^{2}$;

a) Sai. Ta có $P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Suy ra $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)$. Xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là $P(A) \cdot P(B \mid A)=x^{2} \cdot \frac{1}{4} x=\frac{x^{3}}{4}$.

b) Sai. Để khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là $25 \%$ thì $\frac{x^{3}}{4}=25 \% \Leftrightarrow x=1$.

c) Sai. Xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là $P(B)=P(A) \cdot P(B \mid A)+P(\bar{A}) \cdot P(B \mid \bar{A})=x^{2} \cdot \frac{1}{4} x+\left(1-x^{2}\right) \cdot x=x-\frac{3 x^{3}}{4}$.

d) Đúng. Điều kiện của biến $0 \leq x \leq 1$. Xét hàm số $y=x-\frac{3}{4} x^{3}$ trên đoạn $[0 ; 1]$. Ta có $y^{\prime}=1-\frac{9}{4} x^{2} ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{2}{3} \\ x=-\frac{2}{3}(l)\end{array}\right.$. $y(0)=0 ; y\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9} ; y(1)=\frac{1}{4}$. Suy ra $\max _{[0 ; 1]} y=y\left(\frac{2}{3}\right)$. Như vậy, khi $x=\frac{2}{3}$ thì xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba là lớn nhất. Theo công thức Bayes, xác suất để có mưa vào thứ hai biết trời mưa vào thứ ba là $P(A \mid B)=\frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}=\frac{x^{2} \cdot \frac{1}{4} x}{x-\frac{3}{4} x^{3}}=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\frac{3}{4} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}}=\frac{1}{6}$.