Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 09 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 3. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh bằng $1, A B C=60^{\circ}$. Mặt bên $S A B$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $S A$ và $C D$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B M$ và $S N$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

0,33

Đáp án: 0,33 . Gọi $H$ là trung điểm của $A B, G$ là giao điểm của $S H$ và $B M$. Do $(S A B) \perp(A B C D)$ nên $S H \perp(A B C D)$. Trong mặt phẳng $(S H N)$, kẻ đường thẳng đi qua $G$ và song song với $S N$, cắt $H N$ tại $E$. Ta có $S N / /(B G E)$ nên

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $S A B$ nên $\frac{d(S,(B G E))}{d(H,(B G E))}=\frac{S G}{H G}=2$ $\Rightarrow d(S,(B G E))=2 d(H,(B G E))$. Ta có $H E=\frac{1}{3} H N=\frac{1}{3}$ nên $S_{\triangle B H E}=\frac{1}{2} B H \cdot H E \cdot \sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{24}$. Thể tích của tứ diện $G B H E$ là $V_{G B H E}=\frac{1}{3} G H \cdot S_{\triangle B H E}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{24}=\frac{1}{144}$. Mặt khác $V_{G B H E}=\frac{1}{3} \cdot d(H,(B G E)) \cdot S_{\triangle B G E}$. Ta có $B E^{2}=B H^{2}+H E^{2}-2 B H \cdot H E \cdot \cos 120^{\circ}=\frac{19}{36}, B G=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $G E=\frac{1}{3} S N=\frac{1}{3} \sqrt{S H^{2}+H N^{2}}=\frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{4}+1}=\frac{\sqrt{7}}{6}$. Vì $B E^{2}=B G^{2}+G E^{2}$ nên tam giác $B G E$ vuông tại $G, S_{\triangle B G E}=\frac{1}{2} B G \cdot G E=\frac{\sqrt{21}}{36}$. Do đó $d(H,(B G E))=\frac{3 V_{G B H E}}{S_{\triangle B G E}}=\frac{3}{4 \sqrt{21}}$. Vậy $d(B M, S N)=2 \cdot \frac{3}{4 \sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14} \approx 0,33$.