Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 18 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 2. Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật $A B C D \cdot E F G H$ với $A B=6 \mathrm{dm}, A D=8 \mathrm{dm}$ và cạnh bên bằng 10 dm . Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm $G$ đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm $M$ là trung điểm của $A F$ được mô hình hoá như hình vẽ bên. Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách $B A$ và $B C$ những đoạn bằng $a$ và $b$. Khi đó tổng $D=3 a+6 b$ là bao nhiêu?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

20

Dựng hệ trục $O x y z$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là decimét). Khi đó tọa độ các điểm là $B(0 ; 0 ; 0), C(8 ; 0 ; 0), D(8 ; 6 ; 0), A(0 ; 6 ; 0), G(8 ; 0 ; 10), F(0 ; 0 ; 10)$.

Ta có $M$ là trung điểm của $A F \Rightarrow M(0 ; 3 ; 5)$. Con cá bơi từ $G$ đến chạm mặt đáy hồ tại điểm $I(x ; y ; 0) \in(O x y)$ với $0 \leq x \leq 8,0 \leq y \leq 6$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua $(O x y) \Rightarrow N(0 ; 3 ;-5)$. Quãng đường di chuyển của con cá là $G-I-M$. Ta có $I M+I G=I N+I G \geq G N=\sqrt{(0-8)^{2}+(3-0)^{2}+(-5-10)^{2}}=\sqrt{298}$. Để $I M+I G$ nhỏ nhất thì ba điểm $I, G, N$ thẳng hàng. Suy ra $\overrightarrow{I G}, \overrightarrow{N G}$ cùng phương. Có $\overrightarrow{I G}=(8-x ;-y ; 10), \overrightarrow{N G}=(8 ;-3 ; 15)$. Do đó $\frac{8-x}{8}=\frac{-y}{-3}=\frac{10}{15}$. Suy ra $x=\frac{8}{3}, y=2 \Rightarrow I\left(\frac{8}{3} ; 2 ; 0\right)$. Khi đó, $a=d(I, B A)=\frac{8}{3}, b=d(I, B C)=2$. Vậy $D=3 a+6 b=3 \cdot \frac{8}{3}+6 \cdot 2=20$.