Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 05 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 2. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật $A B=3, A D=6$, $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A=3$. Gọi $M$ là trung điểm của $A D$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B M$ và $S D$ (kết quả làm tròn đến chũ số thập phân thư hai).

xem đáp án bên dưới

Đáp án

1,22

Đáp án: 1,22. Gọi $I$ là trung điểm của $B C$. Vì $B M / / D I$ nên $B M / /(S D I)$. Do đó $d(B M, S D)=d(B M,(S D I))=d(M,(S D I))$. Vì $A D \cap(S D I)=D$ và $M$ là trung điểm của $A D$ nên $d(M,(S D I))=\frac{1}{2} d(A,(S D I))$.

Trong $(A B C D)$, kẻ $A K \perp D I(K \in D I), A K \cap B M=J$. Trong $(S A K)$, kẻ $A H \perp S K(H \in S K)$. Vì $\left\{\begin{array}{l}D I \perp A K \\ D I \perp S A\end{array} \Rightarrow D I \perp(S A K)\right.$ mà $A H \subset(S A K) \Rightarrow D I \perp A H$. Suy ra $A H \perp(S D I) \Rightarrow d(A,(S D I))=A H$. Ta có $B M / / D I \Rightarrow J M / / D K$ và $M$ là trung điểm của $A D$ nên $A K=2 A J$. Lại có $\frac{1}{A J^{2}}=\frac{1}{A B^{2}}+\frac{1}{A M^{2}}=\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{2}}=\frac{2}{3^{2}}$. Suy ra $A J=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow A K=3 \sqrt{2}$. Mặt khác $\frac{1}{A H^{2}}=\frac{1}{A K^{2}}+\frac{1}{S A^{2}}=\frac{1}{2 \cdot 3^{2}}+\frac{1}{3^{2}}=\frac{3}{2 \cdot 3^{2}} \Rightarrow A H=\frac{3 \sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$. Do đó $d(M,(S D I))=\frac{1}{2} \cdot A H=\frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22$.

Cách khác:

Gọi $E=D I \cap A B$ thì $A E=2 A B=6$.

Vì S.ADE là tứ diện vuông tại $A$ nên đặt $h=d(A,(S D E))$ thì ta có $\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{S A^{2}}+\frac{1}{A D^{2}}+\frac{1}{A E^{2}}=\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{6}$ $\Rightarrow h=\sqrt{6}$. Suy ra $d(B M, S D)=\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22$.