Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB=3,AD=6, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3. Gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD (kết quả làm tròn đến chũ số thập phân thư hai).
xem đáp án bên dưới
Đáp án
1,22
Đáp án: 1,22.
Gọi I là trung điểm của BC.
Vì BM//DI nên BM//(SDI).
Do đó d(BM,SD)=d(BM,(SDI))=d(M,(SDI)).
Vì AD∩(SDI)=D và M là trung điểm của AD nên d(M,(SDI))=21d(A,(SDI)).
Trong (ABCD), kẻ AK⊥DI(K∈DI),AK∩BM=J.
Trong (SAK), kẻ AH⊥SK(H∈SK).
Vì {DI⊥AKDI⊥SA⇒DI⊥(SAK) mà AH⊂(SAK)⇒DI⊥AH.
Suy ra AH⊥(SDI)⇒d(A,(SDI))=AH.
Ta có BM//DI⇒JM//DK và M là trung điểm của AD nên AK=2AJ.
Lại có AJ21=AB21+AM21=321+321=322. Suy ra AJ=232⇒AK=32.
Mặt khác AH21=AK21+SA21=2⋅321+321=2⋅323⇒AH=336=6.
Do đó d(M,(SDI))=21⋅AH=26≈1,22.
Cách khác:
Gọi E=DI∩AB thì AE=2AB=6.
d(BM,SD)=d(B,(SDI))=21d(A,(SDE))
Vì S.ADE là tứ diện vuông tại A nên đặt h=d(A,(SDE)) thì ta có
h21=SA21+AD21+AE21=321+621+621=61⇒h=6. Suy ra d(BM,SD)=2h=26≈1,22.