Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp tứ giác đều

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 05 - VuaDeThi.com

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên đoạn $S D$ sao cho $S M=2 M D$ . Giá trị tan của góc giữa đường thẳng $B M$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

B. $\frac{1}{5}$ .

C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

D. $\frac{1}{3}$ .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

Trong mặt phẳng $(A B C D)$ :

A C \cap B D=\{O\} \Rightarrow S O \perp(A B C D) .

Xét $\triangle S A O$ vuông tại $O$ có:

S O=\sqrt{S A^{2}-A O^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{a \sqrt{2}}{2} .

Kẻ $M I \perp B D$ tại $I$ . Suy ra $M I / / S O$ nên $M I \perp(A B C D)$ . Vậy góc giữa $B M$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là $M B I$ . Ta có $M I=\frac{1}{3} S O=\frac{a \sqrt{2}}{6} ; B I=\frac{5}{6} B D=\frac{5 \sqrt{2} a}{6}$ . Xét $\triangle M B I$ vuông tại $I$ ta có $\tan M B I=\frac{M I}{B I}=\frac{1}{5}$ . Vậy giá trị tan của góc giữa $B M$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là $\frac{1}{5}$ . Chọn $\mathbf{B}$ .