Giải đáp bài toán hình học trong không gian với mặt phẳng và đường thẳng

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 06 - VuaDeThi.com

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 3. Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P): x-z=0$ , đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=t \\ z=t\end{array}\right.$ và hai điểm $A(1 ; 2 ; 1), B(2 ; 1 ; 4)$ .

a) Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$ .

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng 1 .

c) Điểm $I(a ; b ; c) \in d, a>0$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ bán kính $R=2 \sqrt{2}$ tiếp xúc với $(P)$ . Khi đó $a+b+c=9$ .

d) Gọi $\Delta$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ bằng 1. Khi khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\Delta$ đi qua điểm $M\left(\frac{5}{3} ; \frac{5}{3} ; \frac{5}{3}\right)$ .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Đúng ; b) Sai ; c) Sai ; d) Đúng

a) Đúng. Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta có: $1-1=0$ (luôn đúng) $\Rightarrow A \in(P)$ .

b) Sai. Tọa độ giao điểm của $d$ và $(P)$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=t \\ z=t \\ x-z=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-1 \\ z=-1 \\ t=-1\end{array}\right.\right.$ . Vậy hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ bằng -1 .

c) Sai. Điểm $I(a ; b ; c) \in d \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 t+1 \\ b=t \\ c=t\end{array}\right.$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ bán kính $R=2 \sqrt{2}$ tiếp xúc với $(P)$ nên

d(I,(P))=R \Leftrightarrow \frac{|1+t|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=3(t / m) \\ t=-5(l) \end{array} \text {. Khi đó } a+b+c=1+4 t=13\right. \text {. }

d) Đúng. Từ giả thiết suy ra $\Delta$ nằm trên mặt trụ $(T)$ có trục là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P) .(T)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ tâm $A$ , bán kính $r=1$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(P) \Rightarrow B H / / \Delta \Rightarrow d(B, \Delta)=d(H, \Delta)$ . Ta có $H(3 ; 1 ; 3) \Rightarrow \overrightarrow{A H}=(2 ;-1 ; 2) \Rightarrow A H=3$ Khi $M$ di động trên $(C)$ thì $H M_{\min } \Leftrightarrow M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A H$ và $(C)$ $\Rightarrow \overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A H} \Rightarrow \overrightarrow{A M}\left(\frac{2}{3} ; \frac{-1}{3} ; \frac{2}{3}\right) \Rightarrow M\left(\frac{5}{3} ; \frac{5}{3} ; \frac{5}{3}\right)$ .