Bài toán xác suất về xét nghiệm nhanh bệnh X

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 11 - VuaDeThi.com

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 4. Một loại xét nghiệm nhanh đối với bệnh $X$ nào đó cho kết quả dương tính với $81,2 \%$ các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với $98,4 \%$ các ca thực sự không nhiễm virus. Người ta thấy với một cộng đồng 2000 người thì có 40 người nhiễm virus. Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm.

a) Xác suất để người đó thực sự nhiễm virus là $2 \%$ .

b) Xác suất để người đó có kết quả dương tính trong khi thực sự không nhiễm virus (còn gọi là dương tính giả) là $1,6 \%$ .

c) Xác suất để người đó khi làm xét nghiệm có kết quả dương tính là $3,92 \%$ .

d) Xác suất người đó thực sự nhiễm virus khi nhận được kết quả dương tính xấp xỉ bằng 0,509 .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Đúng ; b) Đúng ; c) Sai ; d) Đúng

Câu 4. Gọi biến cố $A$ : "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính"; Biến cố $B$ : "Người đó thực sự nhiễm virus".

a) Đúng. Do tỷ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là $P(B)=\frac{40}{2000}=0,02=2 \%$ . Vậy xác suất để người đó thực sự nhiễm virus là $2 \%$ .

b) Đúng. Theo bài ra, ta có: $P(A \mid B)=81,2 \%=0,812 ; P(\bar{A} \mid \bar{B})=98,4 \%=0,984$ . Suy ra $P(A \mid \bar{B})=1-P(\bar{A} \mid \bar{B})=1-0,984=0,016=1,6 \%$ . Vậy xác suất để người đó có kết quả dương tính trong khi thực sự không nhiễm virus là $1,6 \%$ .

c) Sai. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $P(A)=P(B) \cdot P(A \mid B)+P(\bar{B}) \cdot P(A \mid \bar{B})=0,02 \cdot 0,812+0,98 \cdot 0,016=0,03192=3,192 \%$ . Vậy xác suất để người đó khi làm xét nghiệm có kết quả dương tính là $3,192 \%$ .

d) Đúng. Theo công thức Bayes, ta có: $P(B \mid A)=\frac{P(B) \cdot P(A \mid B)}{P(A)}=\frac{0,02 \cdot 0,812}{0,03192} \approx 0,509$ . Vậy xác suất người đó thực sự nhiễm virus khi nhận được kết quả dương tính khoảng 0,509 .