Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 11 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 4. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh $a, A B C=60^{\circ}$. Các cạnh bên $S A=S B=S C=\frac{a \sqrt{7}}{3}$. Biết khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S C D)$ bằng $a \sqrt{\frac{m}{n}}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m>0, n>0$. Giá trị $m+n$ bằng bao nhiêu?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

10

Ta có $S A=S B=S C$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $m p(A B C D)$ là điểm $H$ với $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$, mà $\triangle A B C$ đều suy ra $H$ là trọng tâm $\triangle A B C$. Ta có $A B / /(S C D)$, suy ra $d(A,(S C D))=d(B,(S C D))$. Có $\frac{d(B,(S C D))}{d(H,(S C D))}=\frac{B D}{H D}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Vì $\triangle A B C$ đều và $H$ là trọng tâm $\triangle A B C$, suy ra $C H \perp A B$ mà $A B / / C D$ nên $H C \perp C D$. Kẻ $H K \perp S C(K \in S C)$. (1) Ta có $C D \perp H C, C D \perp S H \Rightarrow C D \perp(S H C)$, mà $H K \subset(S H C)$ suy ra $H K \perp C D$, (2). Từ (1) và (2) suy ra $H K \perp(S C D)$. Khi đó $d(H,(S C D))=H K$. Xét $\triangle S H C$ vuông tại $H$, có $H C=\frac{a \sqrt{3}}{3}, S C=\frac{a \sqrt{7}}{3} \Rightarrow S H=\sqrt{\frac{7 a^{2}}{9}-\frac{3 a^{2}}{9}}=\frac{2 a}{3}$. Ta có $H K=\frac{S H \cdot H C}{S C}=\frac{\frac{2 a}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3}}{\frac{a \sqrt{7}}{3}}=\frac{2 a \sqrt{21}}{21}$.

Suy ra $d(A,(S C D))=d(B,(S C D))=\frac{3}{2} \cdot \frac{2 a \sqrt{21}}{21}=a \sqrt{\frac{3}{7}}$. Khi đó, $m=3, n=7$. Vậy $m+n=10$.