Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 11 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình thoi cạnh a,ABC=60a, A B C=60^{\circ}. Các cạnh bên SA=SB=SC=a73S A=S B=S C=\frac{a \sqrt{7}}{3}. Biết khoảng cách dd từ điểm AA đến mặt phẳng (SCD)(S C D) bằng amna \sqrt{\frac{m}{n}} với mn\frac{m}{n} là phân số tối giản, m>0,n>0m>0, n>0. Giá trị m+nm+n bằng bao nhiêu?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

10

Ta có SA=SB=SCS A=S B=S C nên hình chiếu vuông góc của SS lên mp(ABCD)m p(A B C D) là điểm HH với HH là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC\triangle A B C, mà ABC\triangle A B C đều suy ra HH là trọng tâm ABC\triangle A B C. Ta có AB//(SCD)A B / /(S C D), suy ra d(A,(SCD))=d(B,(SCD))d(A,(S C D))=d(B,(S C D)). Có d(B,(SCD))d(H,(SCD))=BDHD=64=32\frac{d(B,(S C D))}{d(H,(S C D))}=\frac{B D}{H D}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.

ABC\triangle A B C đều và HH là trọng tâm ABC\triangle A B C, suy ra CHABC H \perp A BAB//CDA B / / C D nên HCCDH C \perp C D. Kẻ HKSC(KSC)H K \perp S C(K \in S C). (1) Ta có CDHC,CDSHCD(SHC)C D \perp H C, C D \perp S H \Rightarrow C D \perp(S H C), mà HK(SHC)H K \subset(S H C) suy ra HKCDH K \perp C D, (2). Từ (1) và (2) suy ra HK(SCD)H K \perp(S C D). Khi đó d(H,(SCD))=HKd(H,(S C D))=H K. Xét SHC\triangle S H C vuông tại HH, có HC=a33,SC=a73SH=7a293a29=2a3H C=\frac{a \sqrt{3}}{3}, S C=\frac{a \sqrt{7}}{3} \Rightarrow S H=\sqrt{\frac{7 a^{2}}{9}-\frac{3 a^{2}}{9}}=\frac{2 a}{3}. Ta có HK=SHHCSC=2a3a33a73=2a2121H K=\frac{S H \cdot H C}{S C}=\frac{\frac{2 a}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3}}{\frac{a \sqrt{7}}{3}}=\frac{2 a \sqrt{21}}{21}.

Suy ra d(A,(SCD))=d(B,(SCD))=322a2121=a37d(A,(S C D))=d(B,(S C D))=\frac{3}{2} \cdot \frac{2 a \sqrt{21}}{21}=a \sqrt{\frac{3}{7}}. Khi đó, m=3,n=7m=3, n=7. Vậy m+n=10m+n=10.