Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,ABC=60∘. Các cạnh bên SA=SB=SC=3a7. Biết khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng anm với nm là phân số tối giản, m>0,n>0. Giá trị m+n bằng bao nhiêu?
xem đáp án bên dưới
Đáp án
10
Ta có SA=SB=SC nên hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là điểm H với H là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC, mà △ABC đều suy ra H là trọng tâm △ABC.
Ta có AB//(SCD), suy ra d(A,(SCD))=d(B,(SCD)).
Có d(H,(SCD))d(B,(SCD))=HDBD=46=23.
Vì △ABC đều và H là trọng tâm △ABC, suy ra CH⊥AB mà AB//CD nên HC⊥CD.
Kẻ HK⊥SC(K∈SC). (1)
Ta có CD⊥HC,CD⊥SH⇒CD⊥(SHC), mà HK⊂(SHC) suy ra HK⊥CD, (2).
Từ (1) và (2) suy ra HK⊥(SCD). Khi đó d(H,(SCD))=HK.
Xét △SHC vuông tại H, có HC=3a3,SC=3a7⇒SH=97a2−93a2=32a.
Ta có HK=SCSH⋅HC=3a732a⋅3a3=212a21.
Suy ra d(A,(SCD))=d(B,(SCD))=23⋅212a21=a73.
Khi đó, m=3,n=7. Vậy m+n=10.