Câu hỏi về chuyển động của cabin trên đường cáp trong không gian

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 12 - VuaDeThi.com

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10 ; 3 ; 0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2 ;-2 ; 1)$ với tốc độ là $4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

a) Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{\begin{array}{l}x=10+2 t \\ y=3-2 t \\ z=t\end{array}, t \in R\right.$ .

b) Giả sử sau thời gian $t(\mathrm{~s})$ kể từ lúc xuất phát $(t \geq 0)$ , cabin đến điểm $M$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là $M\left(3 t+10 ;-3 t+3 ; \frac{3 t}{2}\right)$ .

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ $x_{B}=550$ , phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với đường cáp là $2 x-2 y+z+340=0$ .

d) Đường cáp $A B$ tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc $30^{\circ}$ .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Đúng ; b) Đúng ; c) Sai ; d) Sai

a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{\begin{array}{l}x=10+2 t \\ y=3-2 t \\ z=t\end{array}, t \in R\right.$ .

b) Đúng. Giả sử sau thời gian $t(\mathrm{~s})$ kể từ lúc xuất phát $(t \geq 0)$ , cabin đến điểm $M$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là $M\left(3 t+10 ;-3 t+3 ; \frac{3 t}{2}\right)$ .

c) Sai. Do $x_{B}=550$ nên $3 t+10=550 \Rightarrow t=180(\mathrm{~s})$ . Do đó điểm $B(550 ;-537 ; 270)$ . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với đường cáp là: $2(x-550)-2(y+537)+(z-270)=0 \Leftrightarrow 2 x-2 y+z-2444=0$ .

d) Sai. Đường thẳng $A B$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2 ;-2 ; 1)$ và $(O x y)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{k}=(0 ; 0 ; 1)$ . Do đó ta có $\sin (A B,(O x y))=|\cos (\vec{u}, \vec{k})|=\frac{|\vec{u} \cdot \vec{k}|}{|\vec{u}| \cdot|\vec{k}|}=\frac{1}{3 \cdot 1}=\frac{1}{3}$ . Vậy $(A B,(O x y)) \approx 19^{\circ}$ .