Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 13 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho hình lăng trụ đều ABC⋅A′B′C′ABC \cdot A'B'C'. Biết khoảng cách từ điểm CC đến mặt phẳng (ABC′)(ABC') bằng aa, góc giữa hai mặt phẳng (ABC′)(ABC') và (BCC′B′)(BCC'B') bằng α\alpha với cos⁡α=123\cos \alpha=\frac{1}{2\sqrt{3}}. Thể tích khối lăng trụ ABC⋅A′B′C′ABC\cdot A'B'C' bằng mn2a3(m>1)\frac{m\sqrt{n}}{2}a^{3}(m>1). Tính m+nm+n.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

5

Gọi MM là trung điểm của ABA B. Do {AB⊥CC′AB⊥CM⇒AB⊥(MCC′)⇒(ABC′)⊥(MCC′)\left\{\begin{array}{l}A B \perp C C^{\prime} \\ A B \perp C M\end{array} \Rightarrow A B \perp\left(M C C^{\prime}\right) \Rightarrow\left(A B C^{\prime}\right) \perp\left(M C C^{\prime}\right)\right.. Kẻ CKC K vuông góc với C′MC^{\prime} M tại KK thì ta được CK⊥(ABC′)C K \perp\left(A B C^{\prime}\right), do đó CK=d(C,(ABC′))=aC K=d\left(C,\left(A B C^{\prime}\right)\right)=a.

Đặt BC=x,CC′=y,(x>0,y>0)B C=x, C C^{\prime}=y,(x>0, y>0), ta được: CM=x32C M=\frac{x \sqrt{3}}{2}.

Ta có 1CM2+1CC′2=1CK2⇔43x2+1y2=1a2(1)\frac{1}{C M^{2}}+\frac{1}{C C^{\prime 2}}=\frac{1}{C K^{2}} \Leftrightarrow \frac{4}{3 x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{a^{2}}(1). Kẻ CE⊥BC′C E \perp B C^{\prime} tại EE, ta được KEC=α,EC=KCsin⁡α=a1−112=a1211K E C=\alpha, E C=\frac{K C}{\sin \alpha}=\frac{a}{\sqrt{1-\frac{1}{12}}}=a \sqrt{\frac{12}{11}}. Lại có 1x2+1y2=1CE2=1112a2(2)\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{1}{C E^{2}}=\frac{11}{12 a^{2}}(2).

Giải (1),(2)(1),(2) ta được x=2a,y=a62x=2 a, y=\frac{a \sqrt{6}}{2}. Thể tích khối lăng trụ ABC⋅A′B′C′A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} là: V=y⋅x234=a62⋅4a234=32a32V=y \cdot \frac{x^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{a \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{4}=\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{2}. Suy ra m=3,n=2m=3, n=2. Vậy m+n=5m+n=5.