Khảo sát hàm số và tích phân của hàm số $f(x)=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}$

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 3. Cho hàm số $f(x)=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}$ .

a) $f(x)=1+\sin x$ .

b) $f(x)$ liên tục trên $R$ .

c) $\int f(x) \mathrm{d} x=\int \mathrm{d} x+\int(-\cos x) \mathrm{d} x$ .

d) $\int f(x) \mathrm{d} x=x+\cos x+C$ .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

a) Đúng ; b) Đúng ; c) Sai ; d) Sai

Câu 3. a) Đúng. Ta có $f(x)=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}=1+2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=1+\sin x$ .

b) Đúng. Hàm số $f(x)$ xác định với mọi $x \in R$ nên $f(x)$ liên tục trên $R$ .

c) Sai

d) Sai. Ta có: $\int f(x) d x=\int(1+\sin x) \mathrm{d} x=\int \mathrm{d} x+\int \sin x \mathrm{~d} x=x-\cos x+C$ .