Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 14 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 2. Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào GARA ô tô nhà thầy Anh. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng x( m)x(\mathrm{~m}), đoạn đường thẳng vào cổng GARA có chiều rộng 2,6 m2,6 \mathrm{~m}. Biết kích thước xe ô tô là 5 m×1,9 m5 \mathrm{~m} \times 1,9 \mathrm{~m}. Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô, người ta coi ô tô như một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài 5 m, chiều rộng 1,9 m1,9 \mathrm{~m}. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên bằng bao nhiêu mét để ô tô có thể đi vào GARA được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Hình minh họa

xem đáp án bên dưới

Đáp án

3,7

Đáp án: 3,7.

Chọn hệ trục OxyO x y như hình vẽ trên. Khi đó M(−2,6;x)M(-2,6 ; x). Gọi B(−a;0)B(-a ; 0) suy ra A(0;25−a2)A\left(0 ; \sqrt{25-a^{2}}\right). Phương trình AB:x−a+y25−a2−1=0A B: \frac{x}{-a}+\frac{y}{\sqrt{25-a^{2}}}-1=0. Do CD//ABC D / / A B nên phương trình CD:x−a+y25−a2−T=0C D: \frac{x}{-a}+\frac{y}{\sqrt{25-a^{2}}}-T=0.

Mà khoảng cách giữa ABA B và CDC D bằng 1,9 nên

∣T−1∣(1a)2+(125−a2)2=1,9⇒T=1+9,5a25−a2\frac{|T-1|}{\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{25-a^{2}}}\right)^{2}}}=1,9 \Rightarrow T=1+\frac{9,5}{a \sqrt{25-a^{2}}}

Điều kiện để ô tô đi qua được là M,OM, O nằm khác phía đối với bờ là đường thẳng CDC D. Suy ra −2,6−a+x25−a2−1−9,5a25−a2≥0⇔x≥25−a2+9,5a−2,6⋅25−a2a\frac{-2,6}{-a}+\frac{x}{\sqrt{25-a^{2}}}-1-\frac{9,5}{a \sqrt{25-a^{2}}} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \sqrt{25-a^{2}}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6 \cdot \sqrt{25-a^{2}}}{a}. Xét hàm số f(a)=25−a2+9,5a−2,6⋅25−a2a(0<a<5)f(a)=\sqrt{25-a^{2}}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6 \cdot \sqrt{25-a^{2}}}{a}(0<a<5). Xét hàm số f(a)=25−a2+9,5a−2,6⋅25−a2a,(0<a<5)f(a)=\sqrt{25-a^{2}}+\frac{9,5}{a}-\frac{2,6 \cdot \sqrt{25-a^{2}}}{a},(0<a<5). Ta có f′(a)=−a3−9,525−a2+65a225−a2f^{\prime}(a)=\frac{-a^{3}-9,5 \sqrt{25-a^{2}}+65}{a^{2} \sqrt{25-a^{2}}}. Đặt g(a)=−a3−9,525−a2+65g(a)=-a^{3}-9,5 \sqrt{25-a^{2}}+65. Ta có g(a)=0g(a)=0 khi a=3a=3. Bảng biến thiên:

Khảo sát hàm số trên ta được giá trị lớn nhất của f(a)f(a) bằng f(3)≈3,7f(3) \approx 3,7. Vậy chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên xấp xỉ 3,7 m3,7 \mathrm{~m} thì ô tô có thể đi vào GARA.