Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 15 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCDS . A B C D có đáy ABCDA B C D là hình vuông và tam giác SABS A B đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SAS ABDB D bằng 21\sqrt{21}. Hãy cho biết cạnh đáy bằng bao nhiêu?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

7

Giả sử AB=aA B=a. Gọi HH là trung điểm của ABSHABSH(ABCD)A B \Rightarrow S H \perp A B \Rightarrow S H \perp(A B C D). Ta có SABD=(SH+HA)(BA+BC)=HABA=12a2\overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{S H}+\overrightarrow{H A})(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{H A} \cdot \overrightarrow{B A}=\frac{1}{2} a^{2} a22cos(SA,BD)=12a2cos(SA,BD)=122\Leftrightarrow a^{2} \sqrt{2} \cdot \cos (\overrightarrow{S A}, \overrightarrow{B D})=\frac{1}{2} a^{2} \Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{S A}, \overrightarrow{B D})=\frac{1}{2 \sqrt{2}} sin(SA,BD)=78\Rightarrow \sin (S A, B D)=\sqrt{\frac{7}{8}}.

Ta có VSABD=13SH(12ABAD)=13a3212a2=312a3V_{S A B D}=\frac{1}{3} S H \cdot\left(\frac{1}{2} A B \cdot A D\right)=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} a^{2}=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}. Lại có VSABD=16SABDd(SA,BD)sin(SA,BD)=16aa22178=7a2312V_{S A B D}=\frac{1}{6} S A \cdot B D \cdot d(S A, B D) \cdot \sin (S A, B D)=\frac{1}{6} a \cdot a \sqrt{2} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{12}. Do đó, 7a2312=312a3a=7\frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3} \Leftrightarrow a=7.