Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 15 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 2. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông và tam giác $S A B$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B D$ bằng $\sqrt{21}$. Hãy cho biết cạnh đáy bằng bao nhiêu?

xem đáp án bên dưới

Đáp án

7

Giả sử $A B=a$. Gọi $H$ là trung điểm của $A B \Rightarrow S H \perp A B \Rightarrow S H \perp(A B C D)$. Ta có $\overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{S H}+\overrightarrow{H A})(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{H A} \cdot \overrightarrow{B A}=\frac{1}{2} a^{2}$ $\Leftrightarrow a^{2} \sqrt{2} \cdot \cos (\overrightarrow{S A}, \overrightarrow{B D})=\frac{1}{2} a^{2} \Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{S A}, \overrightarrow{B D})=\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ $\Rightarrow \sin (S A, B D)=\sqrt{\frac{7}{8}}$.

Ta có $V_{S A B D}=\frac{1}{3} S H \cdot\left(\frac{1}{2} A B \cdot A D\right)=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} a^{2}=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$. Lại có $V_{S A B D}=\frac{1}{6} S A \cdot B D \cdot d(S A, B D) \cdot \sin (S A, B D)=\frac{1}{6} a \cdot a \sqrt{2} \cdot \sqrt{21} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{12}$. Do đó, $\frac{7 a^{2} \sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3} \Leftrightarrow a=7$.