Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 15 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 3. Một người ở vị trí AA muốn đi tới điểm BB về phía hạ lưu đối diện trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Người đó có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông để đến CC và sau đó chạy đến BB, hay có thể chèo trực tiếp đến BB, hoặc chèo thuyền đến một điểm DD giữa CCBB và sau đó chạy đến BB. Biết vận tốc chèo thuyền là 6km/h6 \mathrm{km} / \mathrm{h}, vận tốc chạy là 8km/h8 \mathrm{km} / \mathrm{h} và quãng đường BC=8kmB C=8 \mathrm{km}. Với tốc độ của dòng nước không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền, thì thời gian ngắn nhất (đơn vị : giờ) để người đó đến BB có dạng a+b8a+\frac{\sqrt{b}}{8} (trong đó a,ba, b là các số nguyên dương). Tính a2+b2a^{2}+b^{2}.

Hình minh họa

xem đáp án bên dưới

Đáp án

50

Gọi x( km)x(\mathrm{~km}) là độ dài quãng đường CDC D. Khi đó 8x( km)8-x(\mathrm{~km}) là độ dài quãng đường BDB D.

Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AD=x2+9A D=\sqrt{x^{2}+9} là: x2+96\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{6} (giờ). Thời gian chạy trên quãng đường DBD B là: 8x8\frac{8-x}{8} (giờ). Tổng thời gian di chuyển từ AA đến BBf(x)=x2+96+8x8f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{6}+\frac{8-x}{8}. Xét hàm số f(x)=x2+96+8x8f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{6}+\frac{8-x}{8} trên đoạn [0;8][0 ; 8]. Ta có f(x)=x6x2+918;f(x)=03x2+9=4xx=97(0;8)f^{\prime}(x)=\frac{x}{6 \sqrt{x^{2}+9}}-\frac{1}{8} ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2}+9}=4 x \Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}} \in(0 ; 8). Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ AA đến BB1+781+\frac{\sqrt{7}}{8}. Suy ra a=1,b=7,a2+b2=50a=1, b=7, a^{2}+b^{2}=50.