Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 15 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 3. Một người ở vị trí $A$ muốn đi tới điểm $B$ về phía hạ lưu đối diện trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Người đó có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông để đến $C$ và sau đó chạy đến $B$, hay có thể chèo trực tiếp đến $B$, hoặc chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $C$ và $B$ và sau đó chạy đến $B$. Biết vận tốc chèo thuyền là $6 \mathrm{km} / \mathrm{h}$, vận tốc chạy là $8 \mathrm{km} / \mathrm{h}$ và quãng đường $B C=8 \mathrm{km}$. Với tốc độ của dòng nước không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền, thì thời gian ngắn nhất (đơn vị : giờ) để người đó đến $B$ có dạng $a+\frac{\sqrt{b}}{8}$ (trong đó $a, b$ là các số nguyên dương). Tính $a^{2}+b^{2}$.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

50

Gọi $x(\mathrm{~km})$ là độ dài quãng đường $C D$. Khi đó $8-x(\mathrm{~km})$ là độ dài quãng đường $B D$.

Thời gian chèo thuyền trên quãng đường $A D=\sqrt{x^{2}+9}$ là: $\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{6}$ (giờ). Thời gian chạy trên quãng đường $D B$ là: $\frac{8-x}{8}$ (giờ). Tổng thời gian di chuyển từ $A$ đến $B$ là $f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$. Xét hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$ trên đoạn $[0 ; 8]$. Ta có $f^{\prime}(x)=\frac{x}{6 \sqrt{x^{2}+9}}-\frac{1}{8} ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2}+9}=4 x \Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}} \in(0 ; 8)$. Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ $A$ đến $B$ là $1+\frac{\sqrt{7}}{8}$. Suy ra $a=1, b=7, a^{2}+b^{2}=50$.