Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 15 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 4. Chướng ngại vật "tường cong" trong một sân thi đấu XX là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m . Giao của tường cong và mặt đất là đoạn AB=2 mA B=2 \mathrm{~m}. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với ABA B tại AA là một hình tam giác vuông cong ACEA C E với AC=4 m,CE=3 mA C=4 \mathrm{~m}, C E=3 \mathrm{~m} và cạnh cong AEA E nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí MM là trung điểm của ACA C thì tường cong có độ cao 1 m . Tính thể tích bê tông (đơn vị mét khối) cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hình minh họa

xem đáp án bên dưới

Đáp án

9,3

Chọn hệ tọa độ OxyzO x y z sao cho: Gốc tọa độ OO trùng với điểm AA, tia OxO x trùng với tia ACA C, tia Oy cùng hướng với vectơ CE\overrightarrow{C E}, tia OzO z trùng với tia ABA B. Gọi NN là điểm trên cạnh cong AEA E và cách mặt đất 1 m . Xét mặt phẳng OxyO x y : Với cách chọn hệ tọa độ như trên, ta có A(0;0),N(2;1)A(0 ; 0), N(2 ; 1)E(4;3)E(4 ; 3).

Gọi phương trình của cạnh cong AEA E (là parabol) có dạng y=ax2+bx+cy=a x^{2}+b x+c. Vì parabol đi qua ba điểm A,NA, NEE nên ta có hệ phương trình {c=04a+2b+c=116a+4b+c=3{a=18b=14c=0\left\{\begin{array}{l}c=0 \\ 4 a+2 b+c=1 \\ 16 a+4 b+c=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{8} \\ b=\frac{1}{4} \\ c=0\end{array}\right.\right.. Suy ra phương trình của parabol là y=18x2+14xy=\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{4} x. Vì khi cắt tường cong bởi mặt phẳng vuông góc với OxO x tại điểm có hoành độ x(0x4)x(0 \leq x \leq 4) thì ta được thiết diện là hình chữ nhật có diện tích bằng S(x)=2(18x2+14x)=14x2+12xS(x)=2\left(\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{4} x\right)=\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x nên thể tích của tường cong là V=04(14x2+12x)dx=2839,3( m3)V=\int_{0}^{4}\left(\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{d} x=\frac{28}{3} \approx 9,3\left(\mathrm{~m}^{3}\right).