Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 15 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 4. Chướng ngại vật "tường cong" trong một sân thi đấu $X$ là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m . Giao của tường cong và mặt đất là đoạn $A B=2 \mathrm{~m}$. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $A B$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $A C E$ với $A C=4 \mathrm{~m}, C E=3 \mathrm{~m}$ và cạnh cong $A E$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $A C$ thì tường cong có độ cao 1 m . Tính thể tích bê tông (đơn vị mét khối) cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

xem đáp án bên dưới

Đáp án

9,3

Chọn hệ tọa độ $O x y z$ sao cho: Gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $A$, tia $O x$ trùng với tia $A C$, tia Oy cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{C E}$, tia $O z$ trùng với tia $A B$. Gọi $N$ là điểm trên cạnh cong $A E$ và cách mặt đất 1 m . Xét mặt phẳng $O x y$ : Với cách chọn hệ tọa độ như trên, ta có $A(0 ; 0), N(2 ; 1)$ và $E(4 ; 3)$.

Gọi phương trình của cạnh cong $A E$ (là parabol) có dạng $y=a x^{2}+b x+c$. Vì parabol đi qua ba điểm $A, N$ và $E$ nên ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}c=0 \\ 4 a+2 b+c=1 \\ 16 a+4 b+c=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{8} \\ b=\frac{1}{4} \\ c=0\end{array}\right.\right.$. Suy ra phương trình của parabol là $y=\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{4} x$. Vì khi cắt tường cong bởi mặt phẳng vuông góc với $O x$ tại điểm có hoành độ $x(0 \leq x \leq 4)$ thì ta được thiết diện là hình chữ nhật có diện tích bằng $S(x)=2\left(\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{4} x\right)=\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x$ nên thể tích của tường cong là $V=\int_{0}^{4}\left(\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{d} x=\frac{28}{3} \approx 9,3\left(\mathrm{~m}^{3}\right)$.