Tính toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình chóp

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 16 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 3. Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $2$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A B$ . Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(S C M)$ , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

0,96

Vì $A B$ là hình chiếu của $S B$ trên mặt phẳng $(A B C)$ , nên góc giữa đường thẳng $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng

S B A=60^{\circ} \Rightarrow S A=A B \cdot \tan 60^{\circ}=2 \sqrt{3} .

Do $M=A B \cap(S C M), M$ là trung điểm của $A B$ $\Rightarrow d(A,(S C M))=d(B,(S C M))$ . Vì $\left\{\begin{array}{l}C M \perp A B \\ C M \perp S A\end{array} \Rightarrow C M \perp(S A B)\right.$ .

Mặt khác $C M \subset(S C M) \Rightarrow(S C M) \perp(S A B)$ và $(S C M) \cap(S A B)=S M$ , nên kẻ $A H \perp S M$ tại $H \Rightarrow A H \perp(S M C) \Rightarrow A H=d(A,(S M C))=d(B,(S M C))$ . Xét tam giác $S A M$ vuông tại $A$ , ta có:

\frac{1}{A H^{2}}=\frac{1}{S A^{2}}+\frac{1}{A M^{2}}=\frac{1}{(2 \sqrt{3})^{2}}+\frac{1}{1^{2}}=\frac{13}{12} \Rightarrow A H^{2}=\frac{12}{13} \Rightarrow A H=\sqrt{\frac{12}{13}} \approx 0,96

Vậy khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng (SCM) xấp xỉ bằng 0,96 .