Bài toán diện tích tấm kính hình tam giác đều với cạnh cong

Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 16 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 5. Một tấm kính làm mặt bàn $(\mathrm{H}1)$ có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12 dm. Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol $(P): y=-\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}+5 \sqrt{3}(\mathrm{H}3)$ có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4). Khi đó, ta tính được diện tích mặt kính làm mặt bàn $(\mathrm{H}1)$ bằng $a \sqrt{3}(\mathrm{dm}^{2})$ . Xác định $a$ .

xem đáp án bên dưới

Đáp án

Diện tích tam giác $A B C$ bằng $S_{\triangle A B C}=12^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=36 \sqrt{3}$ .

Dựng hệ trục như hình vẽ bên. Vì tam giác $A B C$ đều cạnh bằng 12 nên $A O=6 \sqrt{3}$ . Phương trình đường thẳng $A C$ :

\frac{x}{6}+\frac{y}{6 \sqrt{3}}=1 \Leftrightarrow y=-\sqrt{3} x+6 \sqrt{3} .

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và đường thẳng $A C$ : $-\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}+5 \sqrt{3}=-\sqrt{3} x+6 \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}-\sqrt{3} x+\sqrt{3}=0$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}(x-2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=2$ . Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi $(P), A C$ và trục $O y$ trong hình trên bằng

\begin{aligned} S_{1} & =\int_{0}^{2}\left[-\sqrt{3} x+6 \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}-5 \sqrt{3}\right] \mathrm{d} x \quad =\int_{0}^{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}-\sqrt{3} x+\sqrt{3}\right) \mathrm{d} x \\ & =\frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{2}(x-2)^{2} \mathrm{~d} x=\left.\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3}(x-2)^{3}\right|_{0} ^{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} . \end{aligned}

Vì mặt bàn đối xứng nên diện tích mặt kính làm mặt bàn là:

S=S_{\triangle A B C}-6 S_{1}=36 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}=32 \sqrt{3}\left(\mathrm{dm}^{2}\right)

Vậy $a=32$ .