Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 16 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 5. Một tấm kính làm mặt bàn (H1)(\mathrm{H}1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12 dm. Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol (P):y=34x2+53(H3)(P): y=-\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}+5 \sqrt{3}(\mathrm{H}3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4). Khi đó, ta tính được diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1)(\mathrm{H}1) bằng a3(dm2)a \sqrt{3}(\mathrm{dm}^{2}). Xác định aa.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

32

Diện tích tam giác ABCA B C bằng SABC=12234=363S_{\triangle A B C}=12^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=36 \sqrt{3}.

Dựng hệ trục như hình vẽ bên. Vì tam giác ABCA B C đều cạnh bằng 12 nên AO=63A O=6 \sqrt{3}. Phương trình đường thẳng ACA C :

x6+y63=1y=3x+63.\frac{x}{6}+\frac{y}{6 \sqrt{3}}=1 \Leftrightarrow y=-\sqrt{3} x+6 \sqrt{3} .

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P)(P) và đường thẳng ACA C : 34x2+53=3x+6334x23x+3=0-\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}+5 \sqrt{3}=-\sqrt{3} x+6 \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}-\sqrt{3} x+\sqrt{3}=0 34(x2)2=0x=2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{4}(x-2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=2. Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi (P),AC(P), A C và trục OyO y trong hình trên bằng

S1=02[3x+63+34x253]dx=02(34x23x+3)dx=3402(x2)2 dx=3413(x2)302=233.\begin{aligned} S_{1} & =\int_{0}^{2}\left[-\sqrt{3} x+6 \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}-5 \sqrt{3}\right] \mathrm{d} x \quad =\int_{0}^{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}-\sqrt{3} x+\sqrt{3}\right) \mathrm{d} x \\ & =\frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{2}(x-2)^{2} \mathrm{~d} x=\left.\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3}(x-2)^{3}\right|_{0} ^{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} . \end{aligned}

Vì mặt bàn đối xứng nên diện tích mặt kính làm mặt bàn là:

S=SABC6S1=36343=323(dm2)S=S_{\triangle A B C}-6 S_{1}=36 \sqrt{3}-4 \sqrt{3}=32 \sqrt{3}\left(\mathrm{dm}^{2}\right)

Vậy a=32a=32.