Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 17 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Hai thành phố AABB cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EFE F bắc qua sông biết rằng thành phố AA cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố BB cách con sông một khoảng là 7 km (hình vẽ), biết HE+KF=24 kmH E+K F=24 \mathrm{~km} và độ dài EFE F không đổi. Hỏi nên xây cây cầu cách thành phố BB bao nhiêu kilômét để đường đi từ thành phố AA đến thành phố BB là ngắn nhất, biết đi theo

F1=(a;b;c)\overrightarrow{F_{1}}=(a ; b ; c), tính giá trị của biểu thức a+3bca+3 b-c. đường AEFBA E F B (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hình minh họa

xem đáp án bên dưới

Đáp án

16

Đặt HE=xH E=xFK=yF K=y, với 0<x,y<240<x, y<24. Ta có HE+KF=24x+y=24H E+K F=24 \Rightarrow x+y=24. Khi đó {AE=25+x2BF=49+y2=49+(24x)2\left\{\begin{array}{l}A E=\sqrt{25+x^{2}} \\ B F=\sqrt{49+y^{2}}=\sqrt{49+(24-x)^{2}}\end{array}\right.. Ta thấy quãng đường AEFBA E F B ngắn nhất khi AE+BFA E+B F nhỏ nhất (vì EFE F không đổi). Xét hàm số f(x)=x2+25+(24x)2+49f(x)=\sqrt{x^{2}+25}+\sqrt{(24-x)^{2}+49}.

f(x)=xx2+25+x24x248x+625,x(0;24).f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+25}}+\frac{x-24}{\sqrt{x^{2}-48 x+625}}, \forall x \in(0 ; 24) .

Cho f(x)=0x=10f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=10. Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của f(x)f(x) bằng 12512 \sqrt{5} tại x=10BF=7516 kmx=10 \Rightarrow B F=7 \sqrt{5} \approx 16 \mathrm{~km}.