Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 17 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu $E F$ bắc qua sông biết rằng thành phố $A$ cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố $B$ cách con sông một khoảng là 7 km (hình vẽ), biết $H E+K F=24 \mathrm{~km}$ và độ dài $E F$ không đổi. Hỏi nên xây cây cầu cách thành phố $B$ bao nhiêu kilômét để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất, biết đi theo

$\overrightarrow{F_{1}}=(a ; b ; c)$, tính giá trị của biểu thức $a+3 b-c$. đường $A E F B$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

xem đáp án bên dưới

Đáp án

16

Đặt $H E=x$ và $F K=y$, với $0<x, y<24$. Ta có $H E+K F=24 \Rightarrow x+y=24$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}A E=\sqrt{25+x^{2}} \\ B F=\sqrt{49+y^{2}}=\sqrt{49+(24-x)^{2}}\end{array}\right.$. Ta thấy quãng đường $A E F B$ ngắn nhất khi $A E+B F$ nhỏ nhất (vì $E F$ không đổi). Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^{2}+25}+\sqrt{(24-x)^{2}+49}$.

$$f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+25}}+\frac{x-24}{\sqrt{x^{2}-48 x+625}}, \forall x \in(0 ; 24) .$$

Cho $f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow x=10$. Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của $f(x)$ bằng $12 \sqrt{5}$ tại $x=10 \Rightarrow B F=7 \sqrt{5} \approx 16 \mathrm{~km}$.