Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 17 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 5. Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ $O x y z$ với $O$ là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $O z$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(O x y)$ là mặt nước và xem như trục $O y$ cùng phương với cầu (xem hình vẽ). Dây cáp $A D$ (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh $D$ thuộc trục $O z$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(O y z)$, trong đó điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m , điểm $A$ cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m .

Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm $N$ trên dây cáp $AD$ và điểm $M$ trên thành cầu, biết $M$ cách mặt nước 75 m và $MN$ song song với cột trụ. Tính độ dài $MN$, biết điểm $M$ cách trục Oz một khoảng bằng 230 m (làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị mét).

xem đáp án bên dưới

Đáp án

50,1

Ta có $A \in(O y z)$ và $A$ cách mặt nước 75 m và cách trục $O z$ là $343 \mathrm{~m} \Rightarrow A(0 ;-343 ; 75)$. Điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước $227 \mathrm{~m} \Rightarrow D(0 ; 0 ; 227)$. Suy ra $\overrightarrow{A D}=(0 ; 343 ; 152)$. Phương trình đường thẳng $A D$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=343 t \\ z=227+152 t\end{array} \quad(t \in R)\right.$. Vì $N \in A D \Rightarrow N(0 ; 343 t ; 227+152 t)$. Điểm $M$ trên thành cầu, $M$ cách mặt nước 75 m và cách trục $O z$ một khoảng bằng 230 m nên tọa độ điểm $M$ là $M(0 ;-230 ; 75)$. Suy ra $\overrightarrow{M N}=(0 ; 343 t+230 ; 152+152 t)$. $M N$ song song với cột trụ $\Rightarrow M N \perp O y \Rightarrow \overrightarrow{M N} \cdot \vec{j}=0 \Rightarrow 343 t+230=0 \Leftrightarrow t=-\frac{230}{343}$. $\Rightarrow \overrightarrow{M N}=\left(0 ; 0 ; \frac{17176}{343}\right) \Rightarrow M N=\frac{17176}{343} \approx 50,1(\mathrm{~m})$.