Đề Thi Thử Môn Toán THPT 2025 - Đề Số 17 - VuaDeThi.com

Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 6. Một bàn cờ vua gồm $8 \times 8$ ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật, ... Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a, b \in Z$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+2 b$.

xem đáp án bên dưới

Đáp án

437

Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi 9 đường thẳng theo phương nằm ngang $x=0 ; x=1 ; x=2 ; \ldots ; x=8$ và 9 đường thẳng theo phương thẳng đứng $y=0 ; y=1 ; y=2 ; \ldots ; y=8$. Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đoạn thẳng thuộc hai đường thẳng $x_{i}, x_{j}$ và hai đoạn thẳng thuộc các đường thẳng $y_{m}, y_{n}(i, j, m, n \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8\})$ nên có $C_{9}^{2} \cdot C_{9}^{2}$ hình chữ nhật. Suy ra $n(\Omega)=C_{9}^{2} \cdot C_{9}^{2}=1296$. Gọi $A$ là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh $k$ lớn hơn 4 . Trường hợp 1: $k=5$. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $x_{i}, x_{j}$ cách nhau 5 đơn vị và hai đường thẳng $y_{m}, y_{n}$ cách nhau 5 đơn vị nên có $4 \cdot 4=16$ cách chọn. Trường hợp 2: $k=6$. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $x_{i}, x_{j}$ cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng $y_{m}, y_{n}$ cách nhau 6 đơn vị có $3 \cdot 3=9$ cách chọn.

Trường hợp 3: $k=7$. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $x_{i}, x_{j}$ cách nhau 7 đơn vị và hai đường thẳng $y_{m}, y_{n}$ cách nhau 7 đơn vị có $2 \cdot 2=4$ cách chọn.

Trường hợp 4: $k=8$. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $x_{i}, x_{j}$ cách nhau 8 đơn vị và hai đường thẳng $y_{m}, y_{n}$ cách nhau 8 đơn vị nên có $1 \cdot 1=1$ cách chọn.

Suy ra $n(A)=16+9+4+1=30$. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{30}{1296}=\frac{5}{216} \Rightarrow a=5 ; b=216 \Rightarrow a+2 b=437$.